Los problemas del milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución es premiada por un millón de dólares cada uno por el Clay Mathematics Institute. A día de hoy, solo uno de estos problemas ha sido resuelto, la conjetura de Poincaré.
Hipótesis de Riemann:
El teorema del número primo determina la distribución promedio de los números primos. La hipótesis de Riemann nos dice acerca de la desviación del promedio. Formulado en el documento de 1859 de Riemann, afirma que todos los ceros "no obvios" de la función zeta son números complejos con la parte real 1/2.
P vs NP:
Si es fácil comprobar que una solución a un problema es correcta, ¿también es fácil resolver el problema? Esta es la esencia de la pregunta P vs NP. Típico de los problemas de NP es el problema de la ruta de Hamilton: dado N ciudades para visitar, ¿cómo se puede hacer esto sin visitar una ciudad dos veces? Si me das una solución, puedo verificar fácilmente que sea correcta. Pero no puedo encontrar una solución tan fácilmente, ver más aquí.
Ecuación de Navier-Stokes:
Esta es la ecuación que rige el flujo de fluidos como el agua y el aire. Sin embargo, no hay pruebas para las preguntas más básicas que uno puede hacer: ¿existen soluciones y son únicas? ¿Por qué pedir una prueba? Porque una prueba no solo da certeza, sino también comprensión.
Conjetura de Hodge:
La respuesta a esta conjetura determina qué parte de la topología del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas se puede definir en términos de ecuaciones algebraicas adicionales. La conjetura de Hodge es conocida en ciertos casos especiales, por ejemplo, cuando el conjunto de soluciones tiene una dimensión menor a cuatro. Pero en la dimensión cuatro es desconocido.
Conjetura de Poincaré:
En 1904, el matemático francés Henri Poincaré preguntó si la esfera tridimensional se caracterizaba por ser la única múltiple conectada de manera simple. Esta pregunta, la conjetura de Poincaré, era un caso especial de la conjetura de geometrización de Thurston. La prueba de Perelman nos dice que cada tres colectores se construye a partir de un conjunto de piezas estándar, cada una con una de las ocho geometrías bien entendidas.
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer:
Con el apoyo de mucha evidencia experimental, esta conjetura relaciona el número de puntos en una curva elíptica mod p con el rango del grupo de puntos racionales. Las curvas elípticas, definidas por ecuaciones cúbicas en dos variables, son objetos matemáticos fundamentales que surgen en muchas áreas: la prueba de Wiles de la Conjetura de Fermat, la factorización de números en primos y la criptografía, por nombrar tres.
Yang-Mills y Mass Gap:
Experimento y simulaciones de computadora sugieren la existencia de una "brecha masiva" en la solución a las versiones cuánticas de las ecuaciones de Yang-Mills. Pero no se conoce ninguna prueba de esta propiedad.
